TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción.

Procedimiento:
Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.
Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto.  Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera:
Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio.
Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos (Caso IV).

Ejemplo:

Factorar    x^4 +x^2y^2 +y^4

1º) Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto:
raíz cuadrada de x^4 = x^2      ;     Raíz cuadrada de y^4 = y^2
el 2º  término debiera ser  2(x^2)(y^2) = 2x^2 y^2
Comparando 2º término (2x^2y^2) – (x^2y^2) = x^2y^2  lo que le falta

2º) Convirtiendo a trinomio cuadrado  perfecto, sumando la diferencia que falta al 2º término y restando la misma diferencia al trinomio dado, así:
x^4   +  x^2y^2  + y^4                     (Trinomio original)
.       +  x^2y^2              - x^2y^2     (sumando y restando lo que le hace falta)
—————————————–
x^4 +2x^2y^2 +y^4  -x^2y^2  = (x^4 +2x^2y^2 +y^4) -x^2y^2 (resultado de convertir el trinomio)

3º) Factorando el trinomio cuadrado perfecto Caso III:
(x^4 +2x^2y^2 +y^4)  - x^2y^2 =  (x^2 + y^2)^2 – x^2y^2

4º) Factorando la diferencia de cuadrados Caso IV:
(x^2 + y^2)^2 – x^2y^2  = (x^2 +y^2 +xy)(x^2y^2 -xy)
Ordenado sería = (x^2 +xy +y^2)(x^2 -xy+y^2) <– Solución

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra es un cubo perfecto, si cumple las siguientes condiciones:

1). Tener cuatro términos

2). El primer y último término sean cubos perfectos (tienen raíz   

     cúbica exacta).

3). El segundo término es tres veces el producto del cuadrado

     de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del           

     último término.

4). El tercer término sea tres veces, el producto de la raíz del

     primer término por el cuadrado de la raíz del último término.

5). El primer y tercer términos son positivos, el segundo y el

     cuarto términos tienen el mismo signo (positivo o negativo).

Si todos los términos son positivos, el polinomio dado es el

cubo de la suma de las raíces cúbicas del primer y último

términos. Y si los términos son alternadamente positivos y negativos  el polinomio dado es el cubo de la diferencia de las raíces.

RECUERDA:  La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.

Ejemplo: La raíz cúbica de 8a³b⁶ es 2ab². Por qué:

              (2ab²) = (2ab²)(2ab²)(2ab²) = 8a³b⁶

EJERCICIO:

Verificar si el siguiente polinomio es cubo perfecto y factorizarlo.

COMBINACION DEL CASO III Y IV

Combinación de algunos casos III y IV

Estudiamos a continuación la descomposición de expresiones compuestas en las cuales mediante un arreglo conveniente de sus terminos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descomponiendo estos trinomios (Caso III) se obtiene una diferencia de cuadrados (Caso IV). 1. Factorar a²+2ab+b²-1.

Aqui tenemos que a²+2ab+b² es un trinomio cuadrado perfecto;

luego: a²+2ab+b²-1 = (a²+2ab+b²)-1

(Factorando el trinomio)=(a+b)²-1

(Factorando la diferencia de cuadrados)= (a+b+1)(a+b-1)

DIFERENCIA DE CUBOS

Diferencia de Cubos

La diferencia de dos cubos  se descompone en dos factores y es igual al producto de la diferencia de las raices cùbicas de los tèrminos, por el polinomio cuyos tèrminos son el cuadrado de la raìz cùbica del primer tèrmino, mas el producto de las raìces cùbicas, màs el cuadrado de la raìz cubica del segundo tèrmino.

x³  - a³ = (x - a)(x² + xa + a²)

EJEMPLO:

1. 125x⁶ - 8a³ = (5x² - 2a)(25x⁴ + 10x²a + 4a²)
   

Proceso:
Raìz cùbica del primer tèrmino, tercera parte  del exponente de la variable........ 125x⁶  = 5x²
Raìz cùbica del segundo tèrmino, tercera parte del exponente de la variable......... 8a³  = 2a

El primer tèrmino de las raìces  halladas se eleva al cuadrado .......................(5x² )² = 25x⁴

Se multiplican las raìces entre si ..................................................................... (5x²)(2a) = 10x²a

Se eleva al cuadrado la segunda raìz ...........................................................................(2a)² = 4a²

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Diferencia de Cuadrados

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capitulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.

Pasos:

1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA x2+bx+c

Trinomio Cuadrdo de la  Forma

Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:

• Tienen un termino positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 ().

• Posee un termino que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).

• Tienen un termino independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).

Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:

1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino .

2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

3. Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.

4. Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el  segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el  segundo término del segundo factor binomio.

Ejemplos:

Detengámonos un poco en los últimos dos ejemplos. 

En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado “x” no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque el “x” es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple letra, este puede ser también un polinomio completo.

Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica es bastante elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos, una herramienta bastante útil es descomponer este numero en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos  que busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica.  Así:

En el cuarto ejemplo se observa que el termino “c” no es un simple numero sino que tiene una forma , en este caso no se ha hecho ninguna diferencia simplemente se a tomado como factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta   y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos.

Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa, ya sea números, letras, o polinomios , solo se necesita que se cumplan las reglas indicadas.

TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c

Trinomio de la  Forma

Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado () se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo).  Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:

1. Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a” por cada termino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el termino “bx” de la manera “b(ax)”, y en el termino “a” de la manera .

2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino la que seria “ax”.

3. al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.

4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

5. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.

Ejemplos:

Siempre que sea posible hay que realizar la división indicada que nos queda de este tipo de trinomio, sin olvidar que cada factor del denominador que se simplifique se corresponde a todos los términos de uno solo de los binomios.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Ambas son respuestas aceptables.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos:

FACTOR COMÚN POR AGRUPACION DE TERMINOS

Factor Común por Agrupación de Términos 

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. 

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.

Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará mas sencillo el resolver estos problemas.

      

Ejemplos:

17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz           = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
                                                                         = (17x +3y +7z)(a – m)

m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2)     = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1]
                                                = (x + 2)(m + 3 – 1)

Otra forma de hacerlo

m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2)     = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1)

FACTOR COMÚN SIMPLE

Factor Común Simple

Sacar factor común consiste en encontrar el elemento común a un conjunto de sumandos, una operación numérica a veces se simplifica sacando factor común para realizar la operación. Ten presente la propiedad distributiva y observa los ejemplos para ver como se usa el factor común.

EJERCICIO